小信号的重要性

在上一篇随笔中，笔者谈到了BJT与FET的工作原理，建立了某一端口电压\电流与另一端口电压\电流的关系。然而，要做到放大，必须建立的是线性关系。这就需要用到小信号等效模型。线性放大，才能保证信号不会失真。

注：本随笔中不考虑厄尔利效应与长度调制效应。

1. 二极管

二极管的小信号模型中，$R_D$的大小为$\frac{V_T}{I_D}$。具体推导可以看《Microelectronics Circuits》。

2. BJT

2.1 BJT的大信号模型

根据这三个公式，我们可以建立BJT的大信号模型：

左图是$i_C$和$v_{BE}$关系的大信号模型；右图是$i_B$和$i_C$关系的大信号等效模型，我们主要关注左边，看小信号怎么使得$v_{BE}$和$i_C$建立线性关系。

2.2 BJT的小信号模型

假设原有一个大信号$V_{BE}$，现在我们在此基础上施加一个小信号$v_{be}$（$v_{be}<< V_T$），使得：

$$v_{BE} = V_{BE} + v_{be}$$

则：

$$\begin{aligned} i_C &= I_se^{v_{BE}/V_T}\\ &=I_se^{( V_{BE} + v_{be})/V_T}\\ &=I_se^{V_{BE}}(1+\frac{v_{be}}{V_T}+...)(\text 泰勒展开省略高次项)\\ &=I_se^{V_{BE}/V_T}(1+\frac{v_{be}}{V_T})\\ &=I_C + i_c \end{aligned}$$

所以

$$i_c = \frac{I_C}{V_T}v_{be}$$

记$\frac{I_c}{V_T}$为$g_m$，则：

$$i_c = g_m v_{be}$$

于是完成了$i_c$与$v_{be}$线性关系的推导。可以看出，推到中的关键，就是小信号。对小信号做泰勒展开省略高次项后，就能得到线性关系。

再结合二极管的小信号模型，所以左边的大信号模型可以改画为下图的小信号模型：

若从右边的大信号模型来解释的话，本质就是二极管的小信号模型，要求$v_{be}<< V_T$。由于$I_b$与$I_c$本就满足线性关系，所以在小信号模型中$\beta$的值与大信号模型中一致。

3. MOSFET

3.1 MOSFET的大信号模型

饱和区时：

再结合MOSFET输入电阻为无穷（G极接进来就是栅氧电容，不导电），可以画出大信号模型：

3.2 MOSFET的小信号模型

在原有大信号$V_{GS}$的基础上，再施加一个小信号$v_{gs}$,

要使得$v^2_{gs}$项可以忽略不计，则应该满足

由此可见，MOSFET对$v_{gs}$的要求比BJT要宽松，所以其失真的概率比BJT要小，这一点在多级放大中可能更为明显。

所以

记

则 [i_d = g_m v_{gs} ]

所以小信号模型可以表示为：

4. 一些奇奇怪怪的想法

我们已经完成了BJT与MOSFET小信号模型的推导，再考虑厄尔利效应和长度调制效应，我们就建立起了模电中电路分析的基石。然而，值得注意的是，小信号的要求是很严苛的。对于BJT来说，$v_{be}$一般不超过5mV;而对于MOSFET来说，$v_{gs}$和$V_{ov}$有关，所以会大一点。所以我个人认为，是不是在多级放大中，更常见的是MOSFET？（笔者暂无设计的经验，只是一个猜测）

然后为了去研究BJT中$v_{be}$取多少不会失真，笔者用matlab进行了下面的仿真：

I_s = 10e-12;
I_c = @(x) I_s * exp(x/25e-3);
fplot(I_c,[0,0.9]);
ylim([0,1]);

结果如下：

然后选取了静止电压为0.6V，画出选取$v_{be}$的区间为$\pm 5mV$的图像：

线性性非常好。

选取$v_{be}$的区间为$\pm 10mV$

可以看出，线性性有所减弱。

选取$v_{be}$的区间为$\pm 15mV$

此时线性性已经比较差了。

所以BJT对小信号的要求确实是比较苛刻的，在多级放大中在这一问题会尤其明显。这个时候，负反馈就会显得非常重要了。